Question

【题目】如图，A是△PBD的边BD上一点，以AB为直径的切PD于点C，过D作DEPO交PO延长线于点E，且有∠EDB=∠EPB.

（1）求证：PB是圆O的切线.

（2）若PB=6，DB=8，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）3

【解析】

(1)由已知角相等,及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似,利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角,即可得证
(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的长在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程求出方程的解得到r的值,即为圆的半径

∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,

∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB为圆的半径
∴PB为圆O的切线;

(2)在R△PBD中,PB=6,DB=8，根据勾股定理得:PD==10,
∵PD与PB都为圆的切线,
∴PC=PB=6
∴DC=PD-PC=10-6=4
在R△CDO中,设OC=T,则有
D0=8-r,
根据勾股定理得: (8-r)2=r2+42
解得:r=3,
则圆的半径为3