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【题目】如图,在ABC中,∠ACB90°ACBCDAB边上点(点DAB不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DEBC于点F,连接BE

1)求证:ACD≌△BCE

2)当ADBF时,求∠BEF的度数;

3)若AB4AD1,求CD的长.

【答案】(1)见解析;(2)∠BEF=67.5°;(3)

【解析】

1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,由于∠ACB=90°,所以∠ACD=ACB-DCB,∠BCE=DCE-DCB,所以∠ACD=BCE,从而可证明ACD≌△BCESAS
2)由ACD≌△BCESAS)可知:∠A=CBE=45°BE=BF,从而可求出∠BEF的度数;
3)易证DBE是直角三角形,由勾股定理可求出DE的长,进而可求出CD的长.

解:(1)证明:由题意可知:CDCE,∠DCE90°

∵∠ACB90°

∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB

∴∠ACD=∠BCE

ACDBCE中,

∴△ACD≌△BCESAS

2)∵∠ACB90°ACBC

∴∠A45°

由(1)可知:∠A=∠CBE45°

ADBF

BEBF

∴∠BEF67.5°

3)∵△ACD≌△BCE

ADBE1,∠CBE=∠A45°

AB4

DB3

∵∠DBE=∠CBA+CBE90°

∴△DBE是直角三角形,

DE

∵△CDE是等腰直角三角形,

CDCE

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