Question

1．材料：相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．
（1）如图①，△ABC中，∠A=50°，∠B=45°，点D、E分别在AB、AC上，且AD•AB=AE•AC．则△ABC与△ADE的关系为△ABC∽△AED，∠ADE=85°；
（2）如图②，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1，求BD的长；
（3）△ABC中，∠A=25°，CD是边AB上的高，且CD²=AD•BD，请直接写出∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）如图①，由AD•AB=AE•AC可推出△ABC∽△AED，从而得到∠ADE=∠C，再根据三角形的内角和定理就可解决问题；
（2）如图②，易证△MND∽△CNB，则有$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$，由M为AD中点及AD=BC可得BN=2DN．设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，从而可得x+1=2（x-1），求出x就可解决问题；
（3）由于CD的位置不确定，故需分情况讨论．由CD²=AD•BD可证到△DAC∽△DCB，则有∠DCB=∠A=25°，然后利用三角形的内角和定理及外角的性质就可解决问题．

解答 解：（1）答案为△ABC∽△AED，∠ADE=85°．
提示：如图①，

∵AD•AB=AE•AC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ADE=∠C．
∵∠A=50°，∠B=45°，
∴∠C=180°-50°-45°=85°，
∴∠ADE=85°；

（2）如图②，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$．
∵M为AD中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，即BN=2DN．
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得x=3．
∴BD=2x=6；

（3）∠ABC的度数为65°或115°．
提示：CD可能在△ABC内，如图③，也可能在△ABC外，如图④．

由CD²=AD•BD可证到△DAC∽△DCB，
从而得到∠DCB=∠A=25°，
如图③，∠B=90°-25°=65°，
如图④，∠ABC=90°+25°=115°．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质等知识，由于三角形高的位置与三角形的形状有关，当三角形的形状不确定时，常需分类讨论．