Question

14．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是$\widehat{AC}$的中点，P是直径AB上一点，⊙O是半径为1，则PC+PD的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．

解答 解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，
则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，
∵C是半圆上的一个三等分点，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠COE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$，
即DP+CP=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．