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【题目】如图,ABBC,射线CMBC,且BC=4,AB=1,点P是线段BC(不与点B、C重合)上的动点,过点PDPAP交射线CM于点D,连结AD.

(1)如图1,若BP=3,求△ABP的周长;

(2)如图2,若DP平分∠ADC,试猜测PBPC的数量关系,并说明理由;

(3)若△PDC是等腰三角形,作点B关于AP的对称点B′,连结B′D,则B′D=_____.(请直接写出答案)

【答案】1+5;(2PB=PC;(35

【解析】

试题(1)根据勾股定理直接求出AP的值就可以求出结论;

2)延长线段APDC交于点E,就可以得出△DPA≌△DPE,就有AP=PE,在证明△APB≌△EPC就可以得出结论;

3)连接AB′PB′,作B′E⊥CDE,就可以得出PB′=CE=1DE=2,在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出结论.

试题解析:(1∵AB⊥BC∴∠ABP=90°

∴AP2=AB2+BP2

∴AP=

∴AP+AB+BP=+1+4=+5

∴△APB的周长为+5

2PB=PC

理由如下:

延长线段APDC交于点E

∵DP平分∠ADC

∴∠ADP=∠EDP

∵DP⊥AP

∴∠DPA=∠DPE=Rt∠

△DPA△DPE

∴△DPA≌△DPEASA),

∴PA=PE

∵AB⊥BPCM⊥CP

∴∠ABP=∠ECP=Rt∠

△APB△EPC

∴△APB≌△EPCAAS),

∴PB=PC

3)答案为:5

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