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    10．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
    探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD的度数．
    归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；
    猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．

    分析 （1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF相等，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；
    （2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；
    （3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．

    解答 解：（1）①∵∠EAP=∠BAP=30°，
    ∴∠DAE=90°-30°×2=30°，
    在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，
    ∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）÷2=75°，
    在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，
    ∴∠F=180°-60°-75°=45°；
    ②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

    如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，
    ∵EG∥AD，DE=EF，
    ∴EG=$\frac{1}{2}$AD=1，
    ∵AB=AE，
    ∴点A在线段BE的垂直平分线上，
    同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，
    ∴AF垂直平分线段BE，
    ∴OB=OE，
    ∵GE∥BP，
    ∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，
    ∴△BOP≌△EOG，
    ∴BP=EG=1，即P为BC的中点，
    ∴∠DAF=90°-∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，
    ∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=45°；
    （2）∠AFD的度数不会发生变化，
    证明：作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，

    在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，
    ∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，
    ∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°，即∠FAG=45°，
    则∠F=90°-45°=45°；
    （3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，

    作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，
    设∠DAG=∠EAG=α，
    ∴∠BAE=90°+2α，
    ∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAE=45°+α，
    ∴∠FAG=∠FAE-∠EAG=45°，
    在Rt△AFG中，∠AFE=90°-45°=45°．

    点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：正方形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

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