Question

3．已知：如图，在矩形ABCD中，∠EDF两边分别与边AB、BC交于E、F，与对角线交于G、H，且∠EDF=∠BDC，∠BDC=60°，AE=2，DH=$\sqrt{13}$时，DG=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 先证明△DEB∽△DHC，得$\frac{DE}{DH}=\frac{DB}{DC}=2$，由此求出DE，利用勾股定理求出AD，CD，根据AE∥CD，得$\frac{AE}{CD}=\frac{EG}{GD}$=$\frac{1}{2}$，即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=BCD=90°，AB∥CD，OA=OC=OD=OB，
∴∠ABD=∠BDC=60°，∠DBC=90°-∠BDC=30°，
∴BD=2CD，△ODC是等边三角形，
∴∠DCO=60°，
∵∠EDF=∠BDC=60°，
∴∠EDB=∠DHC，∵∠DEB=∠DCH，
∴△DEB∽△DHC，
∴$\frac{DE}{DH}=\frac{DB}{DC}=2$，
∵DH=$\sqrt{13}$，
∴DE=2$\sqrt{13}$，
在RT△ADE中，∵$AE=2，ED=2\sqrt{13}$，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}-A{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
在RT△ADC中，∵∠DAC=30°，AD=4$\sqrt{3}$，
∵CD=4，
∵AE∥CD，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{EG}{GD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DG=$\frac{2}{3}$DE=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键，难点是正确寻找相似三角形．