Question

8．已知四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，AD=DC，分别延长BA，CD交于点E，BF垂直EC，交EC的延长线于F．若EA=AO，BC=6，则圆O的半径4，CF的长$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 圆的半径OD可以通过$\frac{OD}{BC}=\frac{EO}{EB}$解决，因为Rt△BCF∽Rt△BAD得$\frac{BC}{BA}=\frac{CF}{AD}$，即$\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，欲求CF只要求出AD，因为AD=CD，所以解决求出CD即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽Rt△BAD，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{CF}{AD}$，即$\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∵OD是⊙O的半径，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
$\frac{DE}{CD}=\frac{EO}{OB}$
∴△EOD∽△EBC，
∴$\frac{OE}{EB}$=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{OD}{BC}$，
AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴$\frac{OE}{BE}$=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{OD}{6}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DE}{CD}$=2，
∴OD=4，CE=$\frac{3}{2}$DE，
又∵∠EDA=EBC，∠E=∠E，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•$\frac{3}{2}$DE=4×12，
∴DE=4$\sqrt{2}$，
∴CD=2$\sqrt{2}$，则AD=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CF}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{8}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为4，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质以及垂直定理的推论等知识，解题的关键是巧用比例式，已知三个量求第四个量．