Question

19．如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，E为正方形外一点，且AE⊥BE．
（1）求∠OEB的度数；
（2）求证：EA+EB=$\sqrt{2}$OE．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥EA，ON⊥EB垂足分别为M、N，由△AOM≌△BON得OM=ON，再根据角平分线的判定定理即可解决．
（2）先证明四边形ENOM是正方形，再根据等腰直角三角形的性质即可证明．

解答 （1）解：作OM⊥EA，ON⊥EB垂足分别为M、N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵∠M=∠MEN=∠ENO=90°，
∴四边形EMNO是矩形，
∴∠MON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠BON}\\{∠OMA=∠ONB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON，
∴OM=ON，∵OM⊥EA，ON⊥EB，
∴∠OEN=∠OEM=45°，
∴∠OEB=45°．
（2）证明：∵四边形ENOM是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形ENOM是正方形，
∴EM=EN，
∵△AOM≌△BON，
∴AM=BN，
∴AE+EB=AE+EN+BN=AE+EN+AM=2EM，
∵∠MEO=45°，∠EMO=90°，
∴∠EMO=∠MOE=45°，
∴$\sqrt{2}EM=OE$即EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE，
∴AE+EB=$\sqrt{2}$OE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．