Question

1．已知整数a₁，a₂，…，a₂₀₀满足：
（1）-1≤a_n≤2，n=1，…，200；
（2）a₁+a₂+…+a₂₀₀=200；
（3）$a_1^2+a_2^2+…+a_{200}^2=300$．
求$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 根据题意知a_n是-1、0、1、2中的某一个整数，从而可以分别设出含有-1、0、1、2的个数，然后根据题意，进行灵活变形，即可求得$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$的最大值与最小值．

解答 解：由题意可得，
a_n是-1、0、1、2中一个，
设整数a₁，a₂，…，a₂₀₀中含有x个-1，y个1，z个2，则含有0的个数为200-x-y-z，
$\left\{\begin{array}{l}{x×（-1）+y×1+（200-x-y-z）×0+2z=200}\\{（-1）^{2}×x+{1}^{2}×y+{0}^{2}×（200-x-y-z）+{2}^{2}×z=300}\end{array}\right.$
化简，得
$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+2z=200}\\{x+y+4z=300}\end{array}\right.$
解得-x+y=200-2z，$\left\{\begin{array}{l}{y-x=200-2z}\\{y+x=300-4z}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=50-z}\\{y=250-3z}\end{array}\right.$
∵$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z≤200}\\{x+y≥0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{300-3z≤200}\\{300-4z≥0}\end{array}\right.$
解得$\frac{100}{3}≤z≤75$，
∴z的最小值为34，z的最大值为75，
∵$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$=（-1）³×x+1³×y+2³×z=-x+y+8z=200-2z+8z=200+6z，
∴当z=34时，200+6z取得最小值，200+6z=200+6×34=200+204=404，
当z=75时，200+6z取得最大值，200+6z=200+6×75=200+450=650，
即$a_1^3+a_2^3+…+a_{200}^3$的最大值是650，最小值是404．

点评 本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．