Question

13．已知，E，F在矩形ABCD的边BA，AD延长线上．若EB=EF=8，CB=CF=6，求矩形ABCD的面积是$\frac{864}{25}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD=BC=6，AB=CD，∠EAF=∠CDF=90°，设AB=CD=x，则AE=BE-AB=8-x，由勾股定理得出AF=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$，因此DF=AF-AD=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$-6，由勾股定理得出方程，解方程求出AB，即可得出矩形的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠EAF=∠CDF=90°，
设AB=CD=x，则AE=BE-AB=8-x，
∴AF=$\sqrt{E{F}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（8-x）^{2}}$=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$，
∴DF=AF-AD=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$-6，
∵DF²=CF²-CD²，
∴（$\sqrt{16x-{x}^{2}}$-6）²+x²=6²，
解得：x=$\frac{144}{25}$，或x=0（不合题意，舍去），
∴AB=$\frac{144}{25}$，
∴矩形ABCD的面积=BC•AD=6×$\frac{144}{25}$=$\frac{864}{25}$；
故答案为：$\frac{864}{25}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的突破口．