Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标．
（2）作直线CD，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，现将抛物线向上平移h（h＞0）个单位长度，若要使抛物线与线段EF有且只有一个公共点，求h的取值范围．
（3）M是抛物线在第一象限上的一个端点，过点M作MN∥y轴，交直线BC于点N，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据正切函数，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据待定系数法，可得CD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E、F的坐标，根据交点坐标，可得h-72≤0，h＞12，可得答案；
（3）根据平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+8与y轴交与C点，
∴C点坐标为（0，8），即OC=8．
在Rt△OBC中，tan∠ABC=2，∴$\frac{OC}{OB}$=2，OB=4，
∴点B的坐标为（4，0），将A、B的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
顶点D的坐标为（1，9）；
（2）如图1：，
设直线CD的解析式为y=kx+b，∵C（0，8），D（1，9），
∴直线CD的解析式为y=x+8，
∴点E的坐标为（-8，0）．
∵BF⊥x轴，且点F在直线CD上，
当x=4时，y=4+8=12，
∴点F的坐标为（4，12）．
将抛物线向上平移h个单位长度，得
y=-（x-1）²+h+9．
当x=-8时，y=h-72；当x=4时，y=h．
∵平移后的抛物线与线段EF有且只有一个公共点，
$\left\{\begin{array}{l}{h-72≤0}\\{h＞12}\end{array}\right.$，
解得12＜h≤72，
∴h的取值范围是12＜h≤72；
（3）如图2：，
设直线CB的解析式为y=kx+b，
∵C（0，8），B（4，6），
∴直线CB的解析式为y=-2x+8，
设点M的坐标为（m，-m²+2m+8）．
∵MN∥y轴，点N在直线CB上，
∴点N的坐标为（m，-2m+8）．
∵M，N在第一象限，
∴MN=-m²+2m+8-（-2m+8）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
当m=2时，MN的值最大，MN=4．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用图象只有一个交点得出不等式组是解题关键；利用平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数是解题关键．