Question

13．已知：如图，△ABC中，内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若BF=5，cosC=$\frac{4}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明BF是⊙O的切线，只需证明∠FBD=90°；
（2）由Rt△BDF中的勾股定理进行解答即可．

解答 证明：（1）连接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴BD是直径，BD过圆心，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠C=∠D，
∴△BEF是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠D=∠ABF，
又∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠D
=180°-∠BAD
=180°-90°
=90°，
∴∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°，
∴OB⊥BF，
又∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙OA切线；
（2）∵∠C=∠D，
∴cosD=cosC=$\frac{4}{5}$，
在Rt△BDF中
cosD=$\frac{BD}{DF}=\frac{4}{5}$，
∴设BD=4x，DF=5x，
又∵BD²+BF²=DF²
∴（4x）²+5²=（5x）²
x=$\frac{25}{9}$，
∵x＞0
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴BD=4×$\frac{5}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{10}{3}$
∴⊙O半径为$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查圆的切线的判断，关键是证明∠FBD=90°来证明BF是⊙O的切线．