Question

3．Rt△ABC，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，BF⊥AC交AD于F，FH∥BC交于H，FG∥AC
求证：
①△ABF≌△AHF；    
②S_△BDF=S_△CFH=S_△GCH．

Answer 1

分析 ①如图，延长BF交AC于M，作HE⊥BC于E，由AD平分∠BAC得∠BAD=∠FAM，根据∠ABC=90°、BF⊥AC得∠AFM=∠ADB，进而得∠BFD=∠ADB即BF=BD，由FH∥BC知∠ADB=∠DFH，可得∠AFB=∠AFH，可证得△AFB≌△AFH；
②由①得：FH=BF=BD，又四边形CGFH是平行四边形可得CG=FH=BD，故S_△BDF=S_△CGH=S_△CFH．

解答 解：①如图，延长BF交AC于M，作HE⊥BC于E，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠FAM，
∵∠ABC=90°，BF⊥AC，
∴∠AFM=∠ADB，
又∠AFM=∠BFD，
∴∠BFD=∠ADB，
∴BF=BD，
∵FH∥BC，
∴∠ADB=∠DFH，
∴∠AFB=∠AFH，
在△AFB和△AFH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠HAF}\\{AF=AF}\\{∠AFB=∠AFH}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△AFH（ASA）；
②由①得：FH=BF=BD，
∵FH∥BC，FG∥AC，
∴四边形CGFH是平行四边形，
∴CG=FH=BD，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$BD•HE=$\frac{1}{2}$CG•HE=$\frac{1}{2}$FH•HE，
∴S_△BDF=S_△CGH=S_△CFH；

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等角的余角相等、对顶角相等、平行线性质等证明∠AFB=∠AFH是解题的关键．