Question

15．在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC边于点D，E为弧AD上一点，∠DEC=∠EBC，延长BE交AC于点F，交⊙O于点G．
（1）如图1，求证：∠BFC=90°；
（2）如图2，连接AG，当AG∥BC时，求证：AG=DC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD交EG于点H，当FH：HE=1：2，且AF=$\sqrt{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由AC是⊙O的直径知∠DAC+∠ACD=90°，又由∠DEC=∠DAC=∠EBC可得∠EBC+∠ACD=90°，即∠BFC=90°；
（2）连接AD、GC，由AC是⊙O的直径可得∠ADC=∠AGC=90°，根据AG∥BC证得四边形GADC是矩形，故AG=DC；
（3）根据FH：HE=1：2，可设FH=a、HE=2a，由∠BFC=90°知FG=FE=3a且∠HAF+∠AHF=90°，又由∠HAF+∠FAG=90°可得∠AHF=∠FAG，则有$\frac{AF}{HF}=\frac{FG}{AF}$，根据比例式求得a的值，进而知HF=1、EH=2、FG=3、GH=4，由∠ACE=∠AGE=∠EBC=∠DEC得∠DEC=∠ACE，故DE∥AC，即$\frac{AH}{DH}=\frac{HF}{HE}$，又由$\frac{AH}{DH}=\frac{GH}{BH}$，可得$\frac{GH}{BH}=\frac{HF}{HE}=\frac{1}{2}$，据此可得HB的长即可．

解答 解：（1）如图1，连接AD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵$\widehat{DC}=\widehat{DC}$，
∴∠DEC=∠DAC，
又∵∠DEC=∠EBC，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠BFC=90°；
（2）如图2，连接AD、GC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AG∥BC，
∴∠GAD+∠ADC=180°，
∴∠GAD=90°，即∠GAD=∠ADC=∠CGA=90°，
∴四边形GADC是矩形，
∴AG=DC；
（3）∵FH：HE=1：2，
∴设FH=a（a＞0），则HE=2a，
由（1）知∠BFC=90°，
∴OF⊥EG于点F，∠HAF+∠AHF=90°，
∴FG=FE=3a，
由（2）知∠HAF+∠FAG=90°，
∴∠AHF=∠FAG，
∴tan∠AHF=tan∠FAG，
∴$\frac{AF}{HF}=\frac{FG}{AF}$，
∴AF²=HF•FG，
∴（$\sqrt{3}$）²=a•3a，
∴3a²=3，
∵a＞0，
∴a=1，
∴HF=1，EH=2，FG=3，
∴GH=4，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AE}$，
∴∠ACE=∠AGE，
∵AG∥BC，
∴∠AGE=∠EBC，
又∵∠EBC=∠DEC，
∴∠DEC=∠ACE，
∴DE∥AC，
∴$\frac{AH}{DH}=\frac{HF}{HE}$，
∵AG∥BC，
又∵GH=4，
∴HB=8，
∴BE=BH-HE=8-2=6．

点评 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、线段的比等知识点，根据角与角间的转换得出线段平行，从而根据平行得到线段的比求出长度是关键．