Question

20．问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：EF=BE+FD．
探索延伸：
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

分析 问题背景：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
探索延伸：将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，则△ADF≌△ABG，即可证明△ABE≌△ADG，可得EF=FG，即可解题；
结论应用：连接EF，根据（2）的结论可证．

解答 解：问题背景：EF=BE+DF，证明如下：
如图1，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；

探索延伸：
证明：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，
则△ADF≌△ABG，
∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠EAF=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△EAF，（SAS）
∴GE=EF，
∵GE=GB+BE=DF+BE，
∴EF=BE+FD；

结论应用：如图3，连接EF，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，
∴∠FOE=70°=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠A+∠B=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE++FB=2×40+2×50=180（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为180海里．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．