Question

14．在Rt△ABC中，根据下列条件，解直角三角形（∠C=90°）：
（1）∠A=30°，c=8；（2）a=35，c=35$\sqrt{2}$；
（3）a=14，∠A=36°；（4）a=30，b=15．

Answer 1

分析 （1）先利用互余求出∠B，然后利用∠A的正弦求a，利用∠A的余弦求b；
（2）先根据正弦的定义求出∠A=45°，再利用互余得到∠B=45°，则利用等腰三角形的性质得b=a=35；
（3）先利用互余求出∠B，然后利用∠A的正弦求c，利用∠A的正切求b；
（4）先根据勾股定理计算出c，再根据正切的定义求出∠A，然后利用互余计算出∠B．

解答 解：（1）∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
∵sinA=$\frac{a}{c}$，
∴a=8sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，
∵cosA=$\frac{b}{c}$，
∴b=8cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$；
（2）∵sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{35}{35\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A=45°，
∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°，
∴b=a=35；
（3）∠B=90°-∠A=90°-36°=54°，
∵sinA=$\frac{a}{c}$，
∴c=$\frac{14}{sin36°}$≈23.8，
∵tanA=$\frac{a}{b}$，
∴b=$\frac{14}{tan36°}$≈19.3；
（4）c=$\sqrt{3{0}^{2}+1{5}^{2}}$=15$\sqrt{5}$，
∵tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{30}{15}$=2，
∴∠A≈27°，
∴∠B=90°-∠A=90°-27°=63°．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．