Question

7．如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF的关系EF=BE-CF（不证明）．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF．

解答 （1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFC=90°}\\{∠EBA=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF=BE+CF．
（2）结论：EF=BE-CF．
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFC=90°}\\{∠EBA=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．
故答案为：EF=BE-CF．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．