Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线上点的横坐标为，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点．

【解析】

（1）由题意先求出A、C的坐标，直接利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）根据题意转化，BD的长是定值，要使的周长最小则有点、、在同一直线上，据此进行分析求解.

解：（1），

点的坐标为.

，

点的坐标为.把，代入，得，

解得.

抛物线的解析式为.

（2）存在.

把代入，

解得，，

点的坐标为.

点的横线坐标为

.故点的坐标为.

如图，设是抛物线对称轴上的一点，连接、、、，

，

的周长等于，

又的长是定值，

点、、在同一直线上时，的周长最小，

由、可得直线的解析式为，

抛物线的对称轴是，

点的坐标为，

在抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小.