Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．

（1）根据题意补全图形；

（2）判定AG与EF的位置关系并证明；

（3）当AB=3，BE=2时，求线段BG的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）先判断出△ADF≌△ABE，进而判断出点C，D，F共线，即可判断出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出结论；

（3）先求出正方形的对角线BD，再求出BH，进而求出DH，即可得出HG，求和即可得出结论．

（1）补全图形如图所示，

（2）连接DF，

由旋转知，AE=AF，∠EAF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=BAD=90°，

∴∠DAF=∠BAE，

∴△ADF≌△ABE（SAS），

∴DF=BE，∠ADF=∠ABC=90°，

∴∠ADF+∠ADC=180°，

∴点C，D，F共线，

∴CF∥AB，

过点E作EH∥BC交BD于H，

∴∠BEH=∠BCD=90°，DF∥EH，

∴∠DFG=∠HEG，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠CBD=45°，

∴BE=EH，

∵∠DGF=∠HGE，

∴△DFG≌△HEG（AAS），

∴FG=EG

∵AE=AF，

∴AG⊥EF；

（3）∵BD是正方形的对角线，

∴BD=AB=3，

由（2）知，在Rt△BEH中，BH=BE=2，

∴DG=BD-BH=

由（2）知，△DFG≌△HEG，

∴DG=HG，

∴HG=DH=，

∴BG=BH+HG=2+=．