Question

5．如图，在菱形ABCD中，AC=AB=4cm，点E是AB边上的动点，当BE=1cm时，作出线段CE绕点C逆时针旋转60°后，得到的线段CF，并求DF的长度．连接EF，当点E运动到什么位置时，△CEF周长有最小值？求出这个最小值．

Answer 1

分析 先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△CBE≌△ACF，即可求得BE=AF，得出DF=AE即可；分析出当CE⊥AB时，△CEF周长最小，求出此值即可．

解答 解：如图：

∵菱形ABCD，AC=AB，
∴AC=AB=BC，
∴∠B=∠CAB=∠DAC=∠BCA=60°，
∵线段CE绕点C逆时针旋转60°后，得到的线段CF，
∴∠ECF=60°，
∴∠ACF=∠BCE，
∴在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠EBC}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∴DF=AE=4-1=3cm；
当CE⊥AB时，△CEF周长最小，
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∵CE⊥AB，
∴CE=$2\sqrt{3}$，
∵△ACF≌△BCE，
∴CF=CE=$2\sqrt{3}$，
∵线段CE绕点C逆时针旋转60°后，得到的线段CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴△CEF的周长是6$\sqrt{3}$．

点评 此题考查菱形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出边角关系．