Question

2．如图1，两条平行线m、n被直线AB所截．
操作：①在直线m上找一点C，使CA=CB；
②在线段AB上任取一点D，作DC=DE交直线n于点E（点E在点B左侧）．
（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（1）探究∠CDE和∠BCA数量关系．
（2）当点D在AB的延长线运动时，其它条件不变，（请在图2中画出草图），（1）中的结论是否成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 ①根据线段垂直平分线的作法即可在直线m上找一点C，使CA=CB；
②连结CD，以D为圆心，CD长为半径作圆弧交直线n于点E（点E在点B左侧）．
（1）如图3，作DM⊥BC于M，DN⊥EB于N，通过证明Rt△DMC≌Rt△DNE，由全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）同（1）一样，通过全等三角形的判定和性质即可求解．

解答 解：①如图1所示：

②如图2所示：

（1）∠CDE=∠BCA，理由如下：
证明：如图3，作DM⊥BC于M，DN⊥EB于N，

∵CA=CB，
∴∠5=∠6，
∵m∥n，
∴∠5=∠7，
∴∠6=∠7，
在Rt△DMC与Rt△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠2}\\{∠DMC=∠DNE}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DMC≌Rt△DNE（AAS），
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠4=∠ACB，
∴∠1=∠BCA，即∠CDE=∠BCA．
（2）∠CDE=∠BCA．
如图4：

点评 考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的作法，全等三角形的判定和性质，关键是证明Rt△DMC≌Rt△DNE．