Question

2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x与直线l₂：y=-x+6交于点A，l₂与x轴交于B，与y轴交于点C．
（1）求△OAC的面积；
（2）如点M在直线l₂上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的$\frac{3}{4}$，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据直线解析式，求得C（0，6），再根据方程组的解，得出A（4，2），进而得到△OAC的面积；
（2）分两种情况进行讨论：①点M₁在射线AC上，②点M₂在射线AB上，分别根据点M的横坐标，求得其纵坐标即可．

解答 解：（1）在y=-x+6中，令x=0，解得y=6，
∴C（0，6），即CO=6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（4，2），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；

（2）分两种情况：
①如图所示，当点M₁在射线AC上时，过M₁作M₁D⊥CO于D，则△CDM₁是等腰直角三角形，
∵A（4，2），C（0，6），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵△OAM的面积是△OAC面积的$\frac{3}{4}$，
∴AM₁=$\frac{3}{4}$AC=3$\sqrt{2}$，
∴CM₁=$\sqrt{3}$，
∴DM₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即点M₁的横坐标为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在直线y=-x+6中，当x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，y=6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴M₁（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；

②如图所示，当点M₂在射线AB上时，过M₂作M₂E⊥CO于E，则△CEM₂是等腰直角三角形，
由题可得，AM₂=AM₁=3$\sqrt{2}$，
∴CM₂=7$\sqrt{3}$，
∴EM₂=$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，即点M₂的横坐标为$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，
在直线y=-x+6中，当x=$\frac{7}{2}\sqrt{6}$时，y=6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，
∴M₂（$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$）．
综上所述，点M的坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$）．

点评 本题主要考查了两直线相交的问题，解决问题的关键是掌握两直线交点的坐标的计算方法，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．