Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

在AB上取AE′=AE，连接CE′，过点E′作E′F⊥BC由等边三角形的性质可知：AB=AC=BC=6，∠B=60°，然后证明△AE′M≌△AEM，从而得到E′M=EM，由两点之间线段最短可知：当E′、M、C在一条直线上时，EM+MC有最小值，在Rt△E′BF中，可求得BF=2，E′F=，最后在Rt△E′FC中，由勾股定理求E′C的长即可．

解：如图所示，在AB上取AE′=AE，连接CE′，过点E′作E′F⊥BC．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC=6．

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴∠BAD=∠CAD．

在△AE′M和△AEM中，

，

∴△AE′M≌△AEM，

∴E′M=EM．

由两点之间线段最短可知：当E′、M、C在一条直线上时，EM+MC有最小值．

∵AE=2， ∴BE′=AB-AE′=4

在Rt△E′BF中，∠B=60°，

∴ ，．

∴BF=BE′＝×4＝2，E′F= BE′=×4＝．

∴FC=BC-BF=4．

在Rt△E′FC中，

E′C．

∴EM+MC=．

故选：C．