Question

16．如图，⊙O为△BCD的外接圆，CE为⊙O的直径，过D作⊙O的切线交BE的延长线于A，且AD∥BC，BD交CE于F．
（1）求证：BD=CD；
（2）若AD=4，BE=6，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由AD是⊙O的切线，根据弦切角定理得到∠BCD=∠ADB，由于AD∥BC，得到∠CBD=∠ADB，即可得到结论；
（2）连结DO交BC于G，连结DE，作BM⊥CE于M，DN⊥CE于N，如图，由BD=CD得弧BD=弧DC，根据垂径定理的推论得到DG⊥BC，BG=CG，再根据切线的性质得OD⊥AD，根据圆周角定理得∠CBE=90°，于是可判断四边形ADGB为矩形，BG=AD=4，得到BC=2BG=8，在Rt△CBE中，利用勾股定理计算出CE=10，利用面积法计算出BM=$\frac{24}{5}$；接着根据切割线定理可计算出AE=2，得到AB=AE+BE=8，则DG=AB=8，于是利用勾股定理可计算出DE=2$\sqrt{5}$，BD=4$\sqrt{5}$，所以CD=4$\sqrt{5}$，再利用面积法计算出DN=4，然后利用S_△BCD=S_△BCF+S_△DCF和三角形面积公式可计算出CF．

解答 （1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠BCD=∠CBD，
∴BC=CD；

（2）解：连结DO交BC于G，连结DE，作BM⊥CE于M，DN⊥CE于N，如图，
∵BD=CD，
∴弧BD=弧DC
∴DG⊥BC，
∴BG=CG，
∵DA为切线，
∴OD⊥AD，
∵CE为直径，
∴∠CBE=90°，
∴四边形ADGB为矩形，
∴BG=AD=4，
∴BC=2BG=8，
在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$BM•CE=$\frac{1}{2}$BC•BE，
∴BM=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵AD²=AE•AB，
∴4²=AE（AE+6），解得AE=2，
∴AB=AE+BE=8，
∴DG=AB=8，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CD=4$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$CD•DE=$\frac{1}{2}$DN•CE，
∴DN=$\frac{2\sqrt{5}•4\sqrt{5}}{10}$=4，
∵S_△BCD=S_△BCF+S_△DCF，
即$\frac{1}{2}$BC•DG=$\frac{1}{2}$CF•BM+$\frac{1}{2}$CF•DN，
∴$\frac{24}{5}$CF+4CF=8•8，
∴CF=$\frac{80}{11}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了三角形面积公式、圆周角定理、矩形的判定与性质．