Question

【题目】如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2﹣ x+2经过点B（3，0），

∴9a﹣ ×3+2=0，

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+2，

∵y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x2+3x）+2=﹣ （x+ ）2+ ，

∴顶点坐标为（﹣ ， ）

（2）

解：∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+2的对称轴为直线x=﹣ ，

与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），

∴点A的坐标为（﹣6，0）．

又∵当x=0时，y=2，

∴C点坐标为（0，2）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，

则 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y= x+2．

∵S△AMC=S△ABC，

∴点B与点M到AC的距离相等，

又∵点B与点M都在AC的下方，

∴BM∥AC，

设直线BM的解析式为y= x+n，

将点B（3，0）代入，得 ×3+n=0，

解得n=﹣1，

∴直线BM的解析式为y= x﹣1．

由 ，解得 ， ，

∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）

（3）

解：在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：

∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x轴交于点A和点B，

∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．

连接BC并延长，交直线x=﹣ 于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．

设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，

得 ， ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+2，

当x=﹣ 时，y=﹣ ×（﹣ ）+2=3，

∴点N的坐标为（﹣ ，3），d的最大值为BC= = ．

【解析】（1）先把点B的坐标代入y=ax2﹣ x+2，可求得a的值，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；（2）先由抛物线的解析式y=﹣ x2﹣ x+2，求出与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点C的坐标，再由△AMC与△ABC的面积相等，得出这两个三角形AC边上的高相等，又由点B与点M都在AC的下方，得出BM∥AC，则点M既在过B点与AC平行的直线上，又在抛物线y=﹣ x2﹣ x+2上，所以先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y= x+2，再设直线BM的解析式为y= x+n，将点B（3，0）代入，求出n的值，得到直线BM的解析式为y= x﹣1，然后解方程组 ，即可求出点M的坐标；（3）连接BC并延长，交抛物线的对称轴x=﹣ 于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x=﹣ 代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．