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【题目】抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)该抛物线与直线y= x+3相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;

②连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0),

,解得

∴该抛物线对应的函数解析式为y= x2 x+3


(2)

解:①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,

∴可设P(t, t2 t+3)(1<t<5),

∵直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N,

∴M(t,0),N(t, t+3),

∴PN= t+3﹣( t2 t+3)=﹣ (t﹣ 2+

联立直线CD与抛物线解析式可得 ,解得

∴C(0,3),D(7, ),

分别过C、D作直线PN的直线,垂足分别为E、F,如图1,

则CE=t,DF=7﹣t,

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN= PNCE+ PNDF= PN= [﹣ (t﹣ 2+ ]=﹣ (t﹣ 2+

∴当t= 时,△PCD的面积有最大值,最大值为

②存在.

∵∠CQN=∠PMB=90°,

∴当△CNQ与△PBM相似时,有 = = 两种情况,

∵CQ⊥PM,垂足为Q,

∴Q(t,3),且C(0,3),N(t, t+3),

∴CQ=t,NQ= t+3﹣3= t,

=

∵P(t, t2 t+3),M(t,0),B(5,0),

∴BM=5﹣t,PM=0﹣( t2 t+3)=﹣ t2+ t﹣3,

= 时,则PM= BM,即﹣ t2+ t﹣3= (5﹣t),解得t=2或t=5(舍去),此时P(2, );

= 时,则BM= PM,即5﹣t= (﹣ t2+ t﹣3),解得t= 或t=5(舍去),此时P( ,﹣ );

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(2, )或( ,﹣


【解析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)①可设出P点坐标,则可表示出M、N的坐标,联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标,过C、D作PN的垂线,可用t表示出△PCD的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值;②当△CNQ与△PBM相似时有 = = 两种情况,利用P点坐标,可分别表示出线段的长,可得到关于P点坐标的方程,可求得P点坐标.
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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A.①
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