Question

【题目】如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，过 E 做 EF⊥AD 于 F，连接BF交AE于P，连接PD．

（1）求证：四边形ABEF 是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，

∵EF⊥AD，

∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，

∴四边形ABEF是矩形，

∵AE平分∠BAD，AF∥BE，

∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴四边形ABEF是正方形.

（2）

解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：

∵四边形ABEF是正方形，

∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，∴AB∥PH，

∵AB=6，∴AH=PH=3，

∵AD=8，∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，

在Rt△PHD中，∠PHD=90°．

∴tan∠ADP==

【解析】（1）根据正方形的判定定理，先证明四边形ABEF是矩形，再证明邻相等可得其为正方形；
（2）求tan∠ADP需要构造直角三角形，所以过点P作PH⊥AD于H，从而可找到突破口.