Question

6．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是$\frac{50}{13}$、5或$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，由“Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12”可得出∠B的正余弦值．将△ADE为等腰三角形分三种情况考虑，结合等腰三角形的性质以及解直角三角形可分别求出三种情况下BE的长度，由m=BE即可得出结论．

解答 解：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图所示．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=13，sin∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{13}$，cos∠B=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{13}$．
△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AB=AE时，
BE=2BM，BM=AB•cos∠B=$\frac{25}{13}$，
此时m=BE=$\frac{50}{13}$；
②当AB=BE时，
m=BE=AB=5；
③当BE=AE时，
BN=AN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，BE=$\frac{BN}{cos∠B}$=$\frac{13}{2}$，
此时m=BE=$\frac{13}{2}$．
故答案为：$\frac{50}{13}$、5或$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质以及解直角三角形，解题的关键是分三种情况求出BE的长处．本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．