Question

24、如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作，FE∥BC交AB于点E，交AC与点F，则线段EF=BE+CF吗？若AB=13，AC=14，则△AEF的周长是多少？

Answer 1

分析：（1）先根据两直线平行内错角相等及角平分线定义，得到∠OBE=∠EOB，根据等角对等边得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．
（2）两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB；也可由（1）直接得出．

解答：解：（1）EF=BE+CF．理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC；
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB；
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．

（2）∵EF∥BC，
∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE，
又BO、CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，
∴∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE，
∴OF=CF，OE=BE，
∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=27．
则△AEF的周长是27．

点评：本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；对相等的线段进行有效等量代换是解答本题的关键．