Question

【题目】[阅读理解]

构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．

例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．

[经验运用]

请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．

求证：①G是EF的中点；

②CG＝BE；

[拓展延伸]

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（ 2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）BE＝CG，理由详见解析；（3）．

【解析】

（1）①过点E作EI∥BC交AC于点I，证明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；

②由等腰直角三角形的性质得出 AI＝AE，由平行线得出＝＝，证出IC＝BE，由全等三角形的性质得出IG＝CG＝IC，即可得出结论；

（2）作EI∥BC 交AC于点I，由三角函数证出AE＝2IE，得出IE＝CF，证△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，求出＝，则＝＝，得出IC＝EB，即可得出结果；

（3）作FP∥AB交AC于P，则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，则tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，证明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再证明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出结果．

（1）证明：①过点E作EI∥BC交AC于点I，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∴∠AIE＝∠BAC＝45°，

∴AE＝EI，

∵AE＝CF，

∴CF＝EI，

∵EI∥BC，

∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，

在△EIG和△FCG中，

，

∴△EIG≌△FCG（ASA），

∴EG＝FG，

∴G是EF的中点；

②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，

∴△AEI是等腰直角三角形，

∴AI＝AE，

∴＝，

∵EI∥BC，

∴＝＝，

∴IC＝BE，

∵△EIG≌△FCG，

∴IG＝CG＝IC，

∴CG＝×BE＝BE；

（2）解：BE和CG之间的数量关系为：BE＝CG；理由如下：

过点E作EI∥BC 交AC于点I，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，

在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，

∴tan∠IAE＝＝＝，

∴AE＝2IE，

∵AE＝2CF，

∴IE＝CF，

∵EI∥BC，

∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，

在△EIG和△FCG中，，

∴△EIG≌△FCG（ASA），

∴EG＝FG，IG＝CG，

设IE＝a，则AE＝2a，

在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，

∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，

即＝＝，

∵EI∥BC，

∴＝＝，

∴IC＝EB，

∵IG＝CG＝IC，

∴CG＝BE，

∴BE＝CG；

（3）解：作FP∥AB交AC于P，如图3所示：

则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，

在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，

∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，

∴PF＝2CF，

∵AE＝2CF，

∴AE＝PF＝2，

同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），

∴AG＝PG，

∵BF＝2，CF＝1，

∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，

∴AC＝＝＝3，

∵FP∥AB，

∴△CPF∽△CAB，

∴＝＝，

∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，

∴AG＝PG＝PA＝，

∵FP∥CD，

∴△PFH∽△CDH，

∴＝＝＝，

∴PH＝PC＝，

∴GH＝PG+PH＝＝．