Question

【题目】如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0)．

(1)如图①，求BD的长；

(2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA．

Answer 1

【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析．

【解析】

（1）先由等边三角形的性质得出OA=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°进而得出∠OAC=∠BAD，即可判断出△AOC≌△ABD即可得出结论；

（2）借助（1）得出的△AOC≌△ABD，得出∠ABD=∠AOC=30°，进而求出∠BFO=60°，再判断出，△AOF≌△BOF即可求出∠OFA=∠DFA=60°．

（1）∵点C（5，0）．

∴OC=5，

∵△AOB和△ACD是等边三角形，

∴OA=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中，

，

∴△AOC≌△ABD，

∴BD=OC=5；

（2）∵△AOB是等边三角形，且AB⊥x轴于E点，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

由（1）知，△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=30°，

∴∠BFO=90°-∠ABD=60°，

在△AOF和△BOF中，

，

∴△AOF≌△BOF，

∴∠AFO=∠BFO=60°，

根据平角的定义得，∠DFA=180°-∠AFO-∠BFO=60°，

∴∠OFA=∠DFA．