Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．

（1）求证：AE＝AF；

（2）求证：BE＝CF；

（3）如果AB＝12，AC＝8，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10．

【解析】

（1）根据角平分线的性质解答即可；
（2）连接DB、DC，证明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出结论；
（3）由（2）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB-AE，代入可求得结果．

证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AE＝AF；

（2）连接DB、DC，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵DG⊥BC且平分BC于点G，

∴DB＝DC，

在Rt△BDE和Rt△CFD中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴BE＝CF；

（3）由（2）知BE＝CF，

且在△ADE和△ADF中

∴△ADE≌△ADF（AAS），

∴AE＝AF＝AC+CF，

而CF＝BE＝AB﹣AE，

∴AE＝AC+AB﹣AE，

∴2AE＝AC+AB＝8+12＝20，

∴AE＝10．