Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A₁恰好落在∠BCD的平分线上时，则AE的长为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$
• B． 2或3
• C． $\frac{4}{3}$或$\frac{3}{2}$
• D． 3或4

Answer 1

分析 如图，过点A₁作A₁M⊥BC于点M，A₁N⊥AD于点N．设CM=A₁M=x，则BM=7-x．在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=25-（7-x）²，由此求得x的值，进而得出AE的长．

解答 解：如图，过点A₁作A₁M⊥BC于点M，A₁N⊥AD于点N．
∵点A的对应点A₁恰落在∠BCD的平分线上，
∴设CM=A₁M=x，则BM=7-x．
又由折叠的性质知AB=A₁B=5．
∴在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=25-（7-x）²．
∴25-（7-x）²=x²，
解得：x₁=3，x₂=4，
则A₁N=AB-A₁M=2或1，
设AE=y，则A₁E=y，EN=（4-y）或（3-y）
故y²=（4-y）²+2²，
解得：y=$\frac{5}{2}$，
y²=（3-y）²+1²，
解得：y=$\frac{5}{3}$
故AE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A₁MB和等腰直角△A₁CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．