Question

19．如图，设P为?ABCD内任意一点，过P作EF∥AB，GH∥BC，EF交A，BC于点E，F，GH交AB，DC于点G，H，且AC，GF，EH不平行．求证：AC，GF，EH相交于一点．

Answer 1

分析 先设AC、EH相交于点K，再证G、F、K三点共线，考虑到梅涅劳斯定理的逆定理，也就是证$\frac{CK}{KA}•\frac{AG}{GB}•\frac{BF}{FC}=1$，而由题设易知$\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$，$\frac{DH}{HC}=\frac{AG}{GB}$，再结合△CAD与截线EHK使用梅涅劳斯定理可得$\frac{CK}{KA}•\frac{AE}{ED}•\frac{DH}{HC}=1$，结论是显然的．

解答 证明：设AC、EH相交于点K，
对于△CAD与截线EHK，由梅涅劳斯定理可得：$\frac{CK}{KA}•\frac{AE}{ED}•\frac{DH}{HC}=1$，
∵ABCD是平行四边形，且EF∥AB，GH∥BC，
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$，$\frac{DH}{HC}=\frac{AG}{GB}$，
∴$\frac{CK}{KA}•\frac{AG}{GB}•\frac{BF}{FC}=1$，
由梅涅劳斯定理的逆定理可知G、F、K三点共线，
∴AC，GF，EH相交于一点．

点评 本题梅涅劳斯定理及其逆定理的经典应用，也是证明三线共点的一道代表性题目，难度不大，但值得研习．对于证明三线共点的题目，先让两线相交于一点，把问题转化为三点共线问题，也就是转化为线段比例问题，这样就容易入手．