Question

7．如图，二次函数的图象与x轴交与A（4，0），并且OA=OC=4OB，点P为过A、B、C三点的抛物线上一动点．
（1）求点B、点C的坐标并求此抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以点C为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）结合图形，根据点A的坐标和已知条件OA=OC=4OB得到点B、C的坐标；然后利用待定系数法求该抛物线的解析式即可；
（2）如图2，过点C作CP⊥AC．交抛物线于点P，过点P作PM⊥y轴于点M，构建等腰直角△MCP，则MC=MP．设P（m，-m²+3m+4），结合图形得到：OM=OC+MC=OC+PM=4+m，即4+m=-m²+3m+4，通过解方程求得m的值，则易求点P的纵坐标；
（3）连接OD，由题意知，矩形OFDE的对角线相等：OD=EF，据垂线段最短，可知：当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由勾股定理和三角形中位线定理易推知：$DF=\frac{1}{2}OC=2$，所以点P的纵坐标是2．最后根据二次函数图象上点的坐标特征来求点P的横坐标即可．

解答 解：（1）如图1，∵A（4，0），
∴OA=4．
又∵OA=OC=4OB，
∴OC=4，OB=1，
∴B（-1，0），C（0，4）．
设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-4）
把C（0，4）代入得：4=a×1×（-4），
∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-4）y=-x²+3x+4，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4；

（2）存在．理由如下：
如图2，过点C作CP⊥AC．交抛物线于点P，过点P作PM⊥y轴于点M．
∵OA=OC，
∴∠OCA=45°．
又∵∠PC⊥AC，
∴∠PCA=90°，
∴∠MCP=∠MPC=45°，
∴MC=MP．
∵P在抛物线上．
∴设P（m，-m²+3m+4），
∴OM=OC+MC=OC+PM=4+m，
∴4+m=-m²+3m+4，
∴m²-2m=0，
∴m₁=0（舍去），m₂=2，
∴-m²+3m+4=6，
∴P（2，6）；

（3）连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF，据垂线段最短，可知：
当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）知，在Rt△AOC中，OC=OA=4，
∴$AC=4\sqrt{2}$．
又∵D为AC的中点．
∴DF∥OC，
∴$DF=\frac{1}{2}OC=2$，
∴点P的纵坐标是2．
∴-x²+3x+4=2，
∴$x=\frac{{3±\sqrt{17}}}{2}$，
∴当EF最短时，点$P（\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}，2）$或$（\frac{{3-\sqrt{17}}}{2}，2）$．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．在求有关动点问题时，利用几何法解题要注意分析题意，分情况讨论结果．在本解答中，是利用代数法解答（3）题的．