Question

2．如图，已知抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；
（2）如图（1），将直线BM向左平移后经过C₃上一点D，使△BMD面积最大，求直线BM向左平移的距离；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B的坐标代入函数解析式即可求得a的值，得到C1的解析式，利用配方法确定顶点坐标，根据C₂和C₁关于x轴对称，即可求得C₂的解析式，根据P、M关于B对称求得M的坐标，而C₃和C₂形状可开口方向相同，据此即可求得C₃的解析式；
（2）求得直线BM的解析式，当△BMD面积最大时，BM一定平移到与C₃只有一个交点时，设出平移后直线的解析式，根据解析式与C₃的解析式组成的方程组只有一个解，利用判别式即可求得直线解析式，进而求得平移的距离；
（3）设Q的坐标是（m，0），则N的坐标即可求得，根据EF=AB，求得AB的长，则F的坐标即可求得，然后利用m表示出△PNF的三边，利用勾股定理，列方程求得m的值．

解答 解：（1）把（1，0）代入y=ax²+4ax+4a-5得：a+4a+4a-5=0，解得：a=$\frac{5}{9}$．
则C₁的解析式是y=$\frac{5}{9}$（x+2）²-5，顶点P的坐标是（-2，-5）．
抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，则C₂的顶点是（-2，5），则解析式是y=-$\frac{5}{9}$（x+2）²+5，
P关于B的对称点M的坐标是（4，5），则C₃的解析是y=-$\frac{5}{9}$（x-4）²+5；
（2）设BM的解析式是y=kx+b，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
则直线BM的解析式是y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{5}{3}$．
设直线BM向左平移后的直线解析式是y=$\frac{5}{3}$x+c．
则$\frac{5}{3}$x+c=-$\frac{5}{9}$（x-4）²+5，
整理，得5x²-25x+（9c+35）=0，
△=625-20（9c+35）=-180c-75=0，
解得：c=-$\frac{5}{12}$．
则直线的解析是y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{5}{12}$，令y=0，即$\frac{5}{3}$x-$\frac{5}{12}$=0，解得：x=$\frac{1}{4}$，
则直线BM向左平移的距离是1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$（单位长度）；
（3）C₁的对称轴时x=-2，B的坐标是（1，0），则A的坐标是（-5，0），则AB=1-（-5）=6，
抛物线C₄与C₁关于Q对称，则EF=AB=6，
设Q的坐标是（m，0），则N的坐标是（2m+2，5），F的横坐标是2m+2+$\frac{1}{2}$EF=2m+2+3=2m+5．即F的坐标是（2m+5，0）．
则PN²=（2m+4）²+（5+5）²=4m²+16m+116，
NF²=【（2m+5）-（2m+2）】²+5²=34，
PF²=（2m+7）²+5²=4m²+28m+74，
当P、N、F为顶点的三角形是直角三角形，当∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，即（4m²+16m+116）+34=4m²+28m+74，
解得：m=$\frac{2}{3}$．
当∠NFP=90°时，PF²+NF²=PN²，即（4m²+16m+116）=34+4m²+28m+74，
解得：m=$\frac{51}{8}$，即Q的坐标是（$\frac{51}{8}$，0）．
当∠NPF=90°时，PN²+PF²=NF²，则4m²+16m+116）+（4m²+28m+74）=34，
解得：2m²+11m+36=0，
△=-23＜0，方程无解．
故Q的坐标是（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{51}{8}$，0）．

点评 本题考查了图形的翻折和平移，以及二次函数的性质，二次项系数|a|确定函数的形状，形状相同．开口方向相同则二次项系数相等，若形状相同，开口方向相反，则二次项系数互为相反数，根据二次项系数和顶点坐标直接写出二次函数的解析式是关键．