Question

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别是（4，0）、（-1，0）、（0，4），动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式及它的顶点D的坐标；
（2）连结CD、AD，求△ACD的面积；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，把点A、B和C坐标代入解析式，列出a，b和c的三元一次方程组，求出a、b和x的值即可，进而求出顶点坐标；
（2）过点D作DG⊥x轴于G，利用S_△ACD=S_梯形OCDG+S_△ADG-S_△AOC求出答案；
（3）①当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁，过点P₁作y轴的垂线，垂足是M，先求出MC=MP₁，设P₁（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，求出m的值即可；②当点A为直角顶点时，过A作AP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP₂交y轴于点F．则P₂N∥x轴，求出AO=OF，P₂N=NF，进而得到m的一元二次方程，求出m的值，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
把A（4，0），B（-1，0），C（0，4）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\\ c=4\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；
由y=-x²+3x+4得$y=-{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{25}{4}$
∴抛物线的顶点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）；

（2）过D作DG⊥x轴于G，如图1，
则S_△ACD=S_梯形OCDG+S_△ADG-S_△AOC=$\frac{1}{2}（4+\frac{25}{4}）×\frac{3}{2}+\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×（4-\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}×4×4$=$\frac{15}{2}$；

（3）存在．①当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．
过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P₁（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2，
∴-m²+3m+4=6，即P₁（2，6）．
②当点A为直角顶点时，过A作AP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，
过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP₂交y轴于点F．则P₂N∥x轴，
∵∠CAO=45°，
∴∠OAP₂=45°，∠AFO=45°，
∴∠FP₂N=∠P₂FN=∠AFO=45°，
∴AO=OF，P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），则-n=-（-n²+3n+4）-4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
则P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的解法的知识，解答（2）问需要把图形进行分割，解答（3）问需要进行分类讨论，此题有一定的难度．