Question

17．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+5（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OC=5OB，抛物线的对称轴直线DF与x轴交于点D，点F（-2，-3），点E（-7，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图（1），若点M是线段OD上一点（点M不与点O、D重合），过点M作ML⊥x轴，交抛物线于点L，点L关于抛物线对称轴的对称点为点H，点P是线段ML上一点，连接PH、PE和EH，当△HEP是以HE为斜边的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标；
（3）如图（2），过点B作BK⊥x轴交直线AC于点K，连接KF、AF，点N是FK的中点，点G是线段AK上任意一点，将△GFN沿GN边翻折得到△GF′N，求当KG为何值时，△GF′N与△KGF重叠部分的面积是△KGF面积的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的截距为5得出C点坐标及OC长度，由OC=5OB得出B点坐标，将B点坐标代入抛物线解析式得到一个a与b的方程，再根据对称轴为-2得到另一个a与b的方程，两个方程联立解出a、b即可；
（2）△HEP是以HE为斜边的等腰直角三角形时，可证△HLP≌△PME，HL=PM，EM=LP，设出M点横坐标m，则L、H、的坐标均可用m表示，HL、ML的长度可以用m表示，根据HL+EM=ML列出方程解之即可；
（3）分两种情况：第一种，翻折之后，F点落在AK下方，设GF'与NK交于点R，由面积关系推出GNF'K是平行四边形；第二种，翻折之后，F点落在AK上方，设NF'与AK交于点R，由面积积推出GNKF'是平行四边形．

解答 解：（1）
对于抛物线y=ax²+bx+5（a≠0），
令x=0，则y=5，
∴C（0，5），
∵OC=5OB，
∴B（1，0），
∵F（-2，-3）在抛物线对称轴上，
∴$-\frac{b}{2a}$=-2，
∴b=4a，
将B（1，0）代入y=ax²+bx+5（a≠0）可得a+b+5=0，
∴a=-1，b=-4，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）如图（1）

∵△EPH是等腰直角三角形，
∴PH=HE，∠EPH=90°，
∴∠HPL+∠EPM=90°，
∵∠EPM+∠PEM=90°，
∴∠PEM=HPL，
∴△EPL≌△PEM，
∴HL=PM，ME=PL，
设M（m，0），则L（m，-m²-4m+5），H（-4-m，-m²-4m+5）
∴HL=PM=2m+4，PL=EM=m+7，
∴2m+4+m+7=-m²-4m+5，
解得：m=-1或m=-6（舍去），
∴PM=HL=2，
∴P（-1，2）；
（3）令-x²-4x+5=0，得x=-5或x=1，
∴A（-5，0），B（1，0）
∴AC的解析式为：y=-x+5，
∴K（1，6），
FK=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+[6-（-3）]^{2}}=3\sqrt{10}$，
①若翻折后，点F'在直线AK下方，记F'G与KN交于点R，连接F'K，如图（2），

∴${S}_{△GNR}=\frac{1}{4}{S}_{△FGK}=\frac{1}{2}{S}_{△GNK}$=$\frac{1}{2}{S}_{△GNF'}$，
即：S_△GNR=S_△F'NR=S_△KGR，
∴NR=KR，GR=F'R，
∴F'KGN是平行四边形，
∴KG=F'N=FN=$\frac{1}{2}KF=\frac{3\sqrt{10}}{2}$；
（3）②若翻折后，点F'在直线AK上方，记F'N与GK交点R，连接F'K，如图（3），

∴${S}_{△GNR}=\frac{1}{4}{S}_{△FGK}=\frac{1}{2}{S}_{△GNK}$=$\frac{1}{2}{S}_{△GNF'}$，
即：S_△GNR=S_△F′GR=S_△KNR，
∴GR=RK，NR=F'R，
∴F'GNK是平行四边形，
∴FG=F'G=KN=$\frac{1}{2}$KF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵A（-5，0），F（-2，-3），
∴∠FAO=45°，AF=3$\sqrt{2}$，
∵∠CA0=45°，
∴AF⊥AK，
∴AG=$\sqrt{F{G}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴KG=KA-AG=$\frac{9}{2}\sqrt{2}$；
综上所述，KG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$或KG=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、勾股定理、平行四边形的判定与性质，等面积变换、翻折变换等知识点，难度较大，是一道经典压轴题．（2）问当通过证明△EPL≌△PEM得出线段相等关系是解决问题的关键；（3）问当中，注意要分两种情况讨论，每种情况当中，通过面积和相等变换得出GNF'K或GNKF'是平行四边形是关键．