Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，G是CD边上的动点（点G不与点C、D重合），CE⊥AG的延长线于G点，BF⊥BE交EA的延长线于F点．
（1）求证：AF=$\frac{4}{3}$CE；
（2）当△ABE是等腰三角形时，求它的周长．

Answer 1

分析 （1）如图1，在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，由BF⊥BE，得到∠EBF=90°，推出∠1=∠2，∠F=∠BEC，证得△AFB∽△CEB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{CB}=\frac{4}{3}$，即可得到结论；
（2）当△ABE是等腰三角形时，分分三种情况：①当AB=BE=4，根据相似三角形的性质得到$\frac{FB}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}$，于是求得FB=$\frac{16}{3}$，根据勾股定理得到EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，连接AC，由AF=$\frac{4}{3}$CE，设CE=3x，AF=4x，AE=$\frac{20}{3}$-4x，根据勾股定理列方程求得AE=$\frac{24}{5}$于是求得结论$\frac{64}{5}$；②当AE=BE，则E在AB的垂直平分线EM上，如图2，根据三角形的中位线的性质得到OM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，根据直角三角形的性质得到OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，于是求得结论；③当AB=AE=4，设CE=3y，AF=4y，根据勾股定理得到（3y）²+（4y）²=8²，求得BE=$\frac{24}{8}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，在矩形ABCD中，
∵∠ABC=90°，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠F=90°-∠BEF，∠BEC=90°-∠BEF，
∴∠F=∠BEC，∴△AFB∽△CEB，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{CB}=\frac{4}{3}$，即AF=$\frac{4}{3}$CE；

（2）∵当△ABE是等腰三角形时，
①当AB=BE=4，
由△AFB∽△CEB，
∴$\frac{FB}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}$，
∴FB=$\frac{16}{3}$，EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
如图2，连接AC，则AC=5，
∵AF=$\frac{4}{3}$CE，
设CE=3x，AF=4x，AE=$\frac{20}{3}$-4x，
∴（$\frac{20}{3}$-4x）²+（3x）²=5²，
∴x=$\frac{5}{3}$（不合题意），x=$\frac{7}{15}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
∴△ABE的周长=8+$\frac{24}{5}$=$\frac{64}{5}$；
②当AE=BE，则E在AB的垂直平分线EM上，如图2，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴ME=4，
∴BE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴△ABE的周长=4$\sqrt{5}$+4；
③当AB=AE=4，
∵AC=5，
∴CE=3，
∵AF=$\frac{4}{3}$CE，
∴AF=4，
∴EF=8，
设CE=3y，AF=4y，
∴（3y）²+（4y）²=8²，
∴y=$\frac{8}{5}$，
∴BE=$\frac{24}{8}$，
∴△ABE的周长=$\frac{64}{5}$．
综上所述：当△ABE是等腰三角形时，求它的周长是$\frac{64}{5}$，4$\sqrt{5}$+4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，正确的周长辅助线是解题的关键．