Question

5．如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意把点A（-1，0），B（2，0）代入二次函数解析式，得到b和c的二元一次方程组，求出b和c的值即可；
（2）设 E（a，b），且a＞0，b＞0，首先用a和b表示出S_{四边形ABEC}，再结合点E在二次函数的图象上，得到S_{四边形ABEC}=-a²+2a+3，即可求解；
（3）首先画出图形，以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，得到$\frac{CD}{DM}=\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，或$\frac{CD}{DM}=\frac{OC}{OA}=2$，根据n的取值范围求出m的值即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（-1，0），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-4+2b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴二次函数的解析式为y=-x²+x+2．    

（2）如图1．
∵二次函数的解析式为y=-x²+x+2与y轴相交于点C，
∴C（0，2）．
设 E（a，b），且a＞0，b＞0．
∵A（-1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，OC=2．
则S_{四边形ABEC}=$\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}（2+b）•a+\frac{1}{2}（2-a）•b$=1+a+b，
∵点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，
∴b=-a²+a+2，
∴S_{四边形ABEC}=-a²+2a+3
=-（a-1）²+4，
当a=1时，b=2，
∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4．

（3）如图2．
设M（m，n），且m＞0．
∵点M在二次函数的图象上，
∴n=-m²+m+2．
∵⊙M与y轴相切，切点为D，
∴∠MDC=90°．
∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，
∴$\frac{CD}{DM}=\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，或$\frac{CD}{DM}=\frac{OC}{OA}=2$．       
①当n＞2时，$\frac{-{m}^{2}+m}{m}=\frac{1}{2}$或$\frac{-{m}^{2}+m}{m}=2$，
解得 m₁=0（舍去），m₂=$\frac{1}{2}$，或m₃=0（舍去），m₄=-1（舍去）．
②同理可得，当n＜2时，m₁=0（舍去），m₂₌$\frac{3}{2}$，或m₃=0（舍去），m₄=3．
综上，满足条件的点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$ ），（3，-4）．

点评 本题主考查了二次函数的综合题，此题涉及了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、四边形面积的求法、二次函数最值的求法以及相似三角形的性质，解答（2）问的关键是求用a和b表示出S_{四边形ABEC}，解答（3）问的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题有一定的难度．