Question

20．△ABC中，D为BC的中点，CE⊥AD于D，BF⊥AD于F，连接BE、CF．
（1）求证：四边形BECF为平行四边形．
（2）延长BE交AC于G，若DG∥AB，试判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠CED=∠BFD=90°，由D为BC的中点，得到BD=CD，推出△BFD≌△CED（AAS），根据全等三角形的性质得到BF=CE，于是得到结论；
（2）根据D为BC的中点，DG∥AB，得到AG=CG，根据直角三角形的性质得到EG=$\frac{1}{2}$AC，根据三角形的中位线的性质得到EG=$\frac{1}{2}$CF，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵CE⊥AD于D，BF⊥AD于F，
∴∠CED=∠BFD=90°，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BFD和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠CED}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）等腰三角形，
理由：∵D为BC的中点，DG∥AB，
∴AG=CG，
∵∠AEC=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形BFCE是平行四边形，
∴EG∥CF，
∴AE=FE，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF，
∴AC=CF，
∴△ACF是等腰三角形．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．