Question

15．如图一，菱形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，且DE⊥AB．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）将图一中△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，连接BF，如图二，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而利用菱形的性质得出AD=AB，即可得出△ABD是等边三角形；
（2）利用旋转的性质以及平行线的性质得出∠FDB=90°，再结合勾股定理得出得出BF的长．

解答 （1）证明：如图一，
∵点E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD=DB=AB，
∴△ABD是等边三角形；

（2）解：如图二，
由（1）得：△ABD是等边三角形，
则∠ADE=∠BDE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵DE⊥AB，
∴∠EDC=90°，
∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90°，
∵△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，
∴DF=ED=$\sqrt{3}$，BD=2，
∴BF=$\sqrt{7}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及旋转的性质和等边三角形的判定、菱形的性质等知识，熟练利用已知得出AD=BD是解题关键．