Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（10，0），又点P是抛物线的对称轴上一动点．
（1）求点A的坐标、抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）在图1中的上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；并求△PAC周长的最小值；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间的函数，当为何值时，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=-6，
所以点A（-6，0）．
同理点C（0，8），
点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为y=ax²+bx+c，
，
解得：，
得出y==-（x-2）²+．
顶点N（2，）；

（2）要使P₀到点A与点C的距离之和最小，根据A，B关于对称轴对称得出，连接BC，交对称轴于一点P，
此时P₀到点A与点C的距离之和最小，
可知三角形PAC最小即为AC+BC，
∵AC==10，BC==2，
∴△PAC周长的最小值为：10，

（3）如图，作MN⊥BC于点N，
∵∠MCN=∠OCB，∠MNC=∠COB，
∴△OBC∽△NCM，
所以=，
即h=．
因为MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S=MH•h，
=×（8-2t）×，
=10t-，
因为每秒移动2个单位，
则当t=-=2时符合范围0＜t＜4，
所以当t=2时S最大为10．
分析：（1）利用一次函数与坐标中交点求法得出A，C坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）由轴对称可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到△MHP₀三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，以及利用三点求二次函数式、相似三角形的性质等知识，利用三角形面积求出S与t的关系是解题关键．