Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交PC于点Q，同时交BC的延长线于F点，连接PF、PA．
（1）求证：△POE≌△AOD；
（2）求证：PC⊥DF；
（3）求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用全等三角形的判定方法AAS即可判定；
（2）由（1）可得OD=EO，∠ODE=∠OED，由OA=OP得到∠OAP=∠OPA，又因为∠AOP=∠EOD即可得到∠OPA=∠ODE，从而证得AP∥DF，再利用平行线的性质和直径的性质，即可得到结论；
（3）由OD⊥AB，AC是直径，可得∠PDB=∠FBD=90°，从而得到DP∥BF，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可得∠CEF=∠EFC，得到CE=CF，证得PC为EF的中垂线，继而证得△CEP∽△CAP，利用相似三角形的性质，可以证得∠QPF=∠OPA，再利用等量代换即可得到∠QPF+∠OPC=90°，从而证得PF是⊙O的切线．

解答：证明：（1）∵AC是直径，点P在⊙O上，
∴OA=OP，
∵OD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADO=∠PEO=90°，
在△POE与△AOD中，

∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE AO=PO

∴△POE≌△AOD（AAS），
（2）∵OA=OP
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∴∠PQE=∠APC
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥DF；
（3）∵OD⊥AB，AC是直径，
∴∠PDB=∠FBD=90°
∴DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，切线的判定等知识，能综合运用这些判定和性质及找到角之间的和差关系是解题的关键．