如图.在平面直角坐标系xOy中.A.B为x轴上两点.C.D为y轴上的两点.经过点A.C.B的抛物线C1的一部分与经过点A.D.B的抛物线C2的一部分组合成一条封闭曲线.我们把这条封闭曲线叫做“蛋线．已知点C的坐标为.点M是抛物线C2:y=-x2+2x+3的顶点．(1)求A.B.M三点的坐标,(2)求抛物线C1的解析式,(3)“蛋线在第四象限上是否存在一点P.使得△PBC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线C₁的一部分与经过点A、D、B的抛物线C₂的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线叫做“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），点M是抛物线C₂：y=-x²+2x+3的顶点．
（1）求A、B、M三点的坐标；
（2）求抛物线C₁的解析式；
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

分析（1）在解析式y=-x²+2x+3中令y=0，可求得A、B坐标，再化为顶点式可求得M点坐标；
（2）利用A、B、C三点的坐标，由待定系数法可求得C₁的解析式；
（3）存在，设点P的坐标为（n，$\frac{1}{2}$n²-n-$\frac{3}{2}$），则可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答题
（1）在y=-x²+2x+3中令y=0，可得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）；
（2）设C₁解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B、C三点的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₁解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
设点P的坐标为（n，$\frac{1}{2}$n²-n-$\frac{3}{2}$）（0＜n＜3），
则S_△PBC=S_△POC+S_△BOP-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×n+$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{1}{2}$n²+n+$\frac{3}{2}$）-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当n=$\frac{3}{2}$时，S_△PBC有最大值，最大值是$\frac{27}{16}$．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、三角形的面积及新定义等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法及顶点式，在（2）中注意待定系数法的应用步骤，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积，从而得到二次函数解析式是解题的关键．本题考查知识点不是太多，综合性较强，但难度不大，相对容易得分．

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8．解方程：
（1）x-4=2-5x
（2）5（x+8）=6（2x-7）+5
（3）$\frac{x-7}{4}$-$\frac{2x-12}{3}$=1
（4）$\frac{0.5-0.2x}{0.2}$=0.1+$\frac{x}{0.5}$．

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9．

如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CN=MB其中正确的结论是①②③④（将你认为正确的结论序号都填上）

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6．（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示-3和2两点之间的距离是5；
（2）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．如果表示数a和-2的两点之间的距离是4，那么a=2或-6；
（3）若此时数轴上有两点A，B对应的数分别为-30和20，如果点P沿线段AB自点A向B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向A以每秒3个单位长度的速度运动，多长时间之后P，Q两点相遇？此时点P在数轴上对应的数是多少？