【题目】如图,在△ABC中,⊙O经过A、B两点,圆心O在BC边上,且⊙O与BC边交于点E,在BC上截取CF=AC,连接AF交⊙O 于点D,若点D恰好是的中点.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若BF=17,DF=13,求⊙O的半径r;
(3)若∠ABC=30°,动直线l从与点A、O重合的位置开始绕点O顺时针旋转,到与OC重合时停止,设直线l与AC的交点为F,点Q为OF的中点,过点F作FG⊥BC于G,连接AQ、QG.请问在旋转过程中,∠AQG的大小是否变化?若不变,求出∠AQG的度数;若变化,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2)⊙O的半径r为12;
(3)在旋转过程中∠AQG的大小不变,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)连接OA、OD,根据垂径定理得∠DOE =90°,则∠D+∠OFD=90°,再由AC=FC,OA=OD,加上∠CAF=∠CFA,所以∠OAD+∠CAF=90°,根据切线的判定定理可得AC是⊙O切线;(2)先表示出OD=r,OF=17﹣r,再在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(17﹣r)2=132,解方程得到r的值;(3)(3)易证点A、O、G、H在以点Q为圆心,QO为半径的圆上,从而得到∠AQG=2∠AOG.从而得到∠AOC=60°,进而得到∠AQG=120°,所以∠AQG是定值.
(1)证明:连接OA、OD,如图,
∵D为弧BE的中点,
∴∠BOD=∠DOE =90°,
∴∠D+∠OFD=90°,
∵AC=FC,OA=OD,
∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,
而∠CFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠CAF=90°,
即∠OAC=90°,
∴OA⊥AC,
∴AC是⊙O切线;
(2)OD=r,OF=17﹣r,
在Rt△DOF中,r2+(17﹣r)2=132,
解得r=5(舍去),r=12;
即⊙O的半径r为12;
(3)在旋转过程中∠AQG的大小不变.
∵∠OAC=90°.
∴HG⊥BC,
∴∠OGH=90°.
∵点Q是OH的中点,
∴AQ=OQ=HQ=GQ
∴点A、O、G、H在以点Q为圆心,QO为半径的圆上,
∴∠AQG=2∠AOG.
∵∠ABC=30°,
∴∠AOC=60°.
∴∠AQG=120°.
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变,始终等于120°.
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【题目】如图,在平面直角坐标系XOY中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点,不写画法);
(2)直接写出A′,B′,C′三点的坐标:A′( ),B′( ),C′( )
(3)计算△ABC的面积.
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【题目】下列事件是随机事件的是( )
A. 在一个标准大气压下,水加热到100℃会沸腾 B. 购买一张福利彩票就中奖
C. 有一名运动员奔跑的速度是50米/秒 D. 在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球,摸出红球
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【题目】如图,矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1,C1D1与AD交于点M,延长DA交A1D1于F,若AB=1,BC=,则AF的长度为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在进行某批乒乓球的质量检验时,当抽取了2000个乒乓球时,发现优等品有1866个,则这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是______(精确到0.01)
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【题目】(本小题12分)小明有5张写着不同数字的卡片,请按要求抽出卡片,完成下列各问题:
(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最大,如何抽取?最大值是多少?
答:我抽取的2张卡片是 、 ,乘积的最大值为 .
(2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,如何抽取?最小值是多少?
答:我抽取的2张卡片是 、 ,商的最小值为 .
(3)从中取出4张卡片,用学过的运算方法,使结果为24.如何抽取?写出运算式子.(写出一种即可)
答:我抽取的4张卡片是 、 、 、 ,
算24的式子为 .
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