Question

19．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，H为垂足，AE是O的直径．求证：HA²+HD²+HC²+HB²=AE²．

Answer 1

分析 连接BO，DO，作OG⊥CD于点G，作OF⊥AB于点F”构造矩形OGHF，然后利用勾股定理和垂径定理，求得OG²+OF²=OH²，因为HA²+HD²+HC²+HB²=（HA+HB）²-2HA•HB+（HC+HD）²-2HC•HD=AB²+CD²-4HA•HB，过点H作直径MN，根据相交弦定理得出HA•HB=HM•HN=（R-OH）（R+OH）=R²-OH²，代入得到HA²+HD²+HC²+HB²=4R²=（2R）²=AE²．

解答 解：∵HA²+HD²+HC²+HB²=（HA+HB）²-2HA•HB+（HC+HD）²-2HC•HD=AB²+CD²-4HA•HB，
如图，过点H作直径MN，则HM•HN=HA•HB，
∴HA²+HD²+HC²+HB²=AB²+CD²-4HM•HN，
∵HM•HN=（R-OH）（R+OH）=R²-OH²
∴HA²+HD²+HC²+HB²=AB²+CD²-4（R²-OH²）=AB²+CD²-4R²+4OH²，
作OG⊥CD于点G，作OF⊥AB于点F，
∵DC⊥AB，OG⊥CD，OF⊥AB，
∴四边形OGHF为矩形；
∵FH²+OF²=OH²（勾股定理），
又∵FH²=OG²
∴OG²+OF²=OH²；
∵OF²=BO²-BF²=R²-$\frac{1}{4}$AB²；
又∵OG²=OD²-GD²=R²-$\frac{1}{4}$CD²，
∴HA²+HD²+HC²+HB²
=AB²+CD²-4R²+4（R²-$\frac{1}{4}$AB²+R²-$\frac{1}{4}$CD²）
=4R²
=（2R）²，
∵AE=2R，
∴HA²+HD²+HC²+HB²=AE²．

点评 本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OFHG，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB²+CD²联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．