Question

9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF．若EF=$\sqrt{3}$，BD=4，则菱形ABCD的周长为4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD=2，证出EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2EF=2$\sqrt{3}$，得出OA=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出AB，即可求出菱形的周长．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴∠AOB=90°，
∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4$\sqrt{7}$；
故答案为：4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．