Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙O交AC于E，与BC相切于点F，连接AF．
（1）求证：∠BAF=∠CAF；
（2）若AC=6，BC=8，求BD和CE的长；
（3）若AF与DE交于H，求

FH

FA

的值（直接写出结果即可）

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结OF，运用内错角相等和等边对等角证明．
（2）作FM⊥AB于点M，得出△AMF≌△ACF，求出BM，再运用△BMF∽△BCA，得出BF=5，再运用切割定理求解．
（3）运用平行线的性质列出比例式求解．

解答：证明：（1）如图连结OF，
∵BC与⊙O相切于点F，
∴OFB=90°，
又∵∠C=90°，
∴OF∥AC，
∴∠OFA=∠CAF，
∵OF=OA，
∴∠OFA=∠BAF，
∴∠BAF=∠CAF；
（2）如图作FM⊥AB于点M，
∵∠BAF=∠CAF，∠C=∠AMF=90°
∴FM=FC，
在△AMF和△ACF中，

∠BAF=∠CAF ∠C=∠AMF FM=FC

，
∴△AMF≌△ACF（AAS），
∴AM=AC=6，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∴BM=10-6=4，
∵∠ABC=∠CBA，∠C=∠AMF，
∴△BMF∽△BCA，
∴

BM

BC

=

BF

AB

∴

4

8

=

BF

10

∴BF=5，
∵BF²=BD•BA
∴5²=BD×10
∴BD=

5

2

，
∵CF=BC-BF=8-5=3，
∵CF²=CE•CA，
∴CE=CF²÷CA=9÷6=

3

2

；
（3）∵HE∥FC，
∴

AH

FH

=

EA

CE

，
∴

AH+FH

FH

=

EA+CE

CE

，
∴

AF

FH

=

AC

CE

=4，
∴

FH

FA

=

1

4

，
故答案为：

1

4

．

点评：本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等，解决本题的关键是运用三角形的全等和相似求出线段．